Para que serve um banco de dados?

Serve para manipular (ou processar) dados...

É que existem certas maneiras padronizadas de se lidar com grandes quantidades de dados (informações no computador), que funcionam também com pequenas quantidades.

Estas "maneiras padronizadas" são chamadas de formato, padrão, paradigma, etc, mas definem como os dados são guardados no computador e como eles são apresentados.

Aí você usa um programa, um "SGBD - Sistema Gerenciador de Banco de Dados" (ou "DBMS", em inglês, de "Data Base Management System"), como o MySQL, o Access, etc.

Ou um programa que faça uma interface (que interagem) com um SGBD (ou que tenha um SGBD embutido), como os programas feitos com o Delhpi ou o VB, por exemplo, que fazem você pensar que não existe o tal SGBD.

E dessas maneiras você usa os dados com a ajuda do computador.

O paradigma de bancos de dados mais simples é usar uma tabela. Pense um uma tabela com várias colunas, onde você coloca um tipo de informação em cada uma (como Nome, Fone, E-mail, Salário, etc), e cada linha representa uma pessoa.

Ora, cada linha (chamada também de "Registro") conterá (nesse exemplo) os dados sobre uma pessoa, enquanto que cada coluna (chamada também de "Campo") contêm o mesmo tipo de dado sobre todas as pessoas (como todos os E-mails de toda as pessoas cadastradas).

Podemos processar ou selecionar os dados dessa tabela. 

Por exemplo, para dar um aumento de 10% para os salários de todas as pessoas, a gente apenas multiplica por 1,1 o valor de número da coluna "Salário".

E se queremos saber quem tem o maior salário, basta comparar os valores da coluna "Salário" e quardar o "Nome" do que tiver o maior valor de "Salário".

O paradigma mais usado hoje em dia é o de Banco de Dados Relacional. Nesse paradigma, um banco de dados é composto por várias tabelas, mais uma série de informações (chamadas "Relações") que nos permite ligar os dados de uma tabela com os dados de outra.

Por exemplo, uma tabela pode ser dos dados dos funcionários de uma empresa. Outra tabela pode ser a lotação dos funcionários (lista de que funcionários pertencem a cada setor da empresa).

Nesse exemplo, podemos procurar quem ganha o menor salário de um certo setor. Para isso, seleciona-se da tabela de lotação quem pertence ao setor desejado, e com estes procura-se na tabela com dados dos funcionários, um de cada vez, o salário, comparando e guardando o menor (com a identificação desse funcionário).